目录
1 一元函数的导数
2 一元函数的积分
3 常微分方程
4 多元函数的微积分
5 级数与 Fourier 变换
6 线性代数
7 变分法及其相关问题
附录 A. 复数的指数形式
索引
1.1 直接求导
极坐标和球坐标中质点的动能, 平面旋转坐标系中的惯性力
1.2 Taylor 公式与近似计算
位于地球表面的物体的重力势能, 黑体辐射公式的低频和高频近似, 狭义相对论的质能关系式, 氢原子能级的精细结构, 潮汐
1.3 单调性与最大最小值
抛体的最远距离, Wien 位移定律, 光的折射与 Fermat 原理, 蜂巢的边界, 实系数一元三次方程的实根个数, Young 不等式、Holder 不等式和 Minkowski 不等式, Lagrange 点
1.4 凸性
Jensen 不等式, 平均值不等式
2.1 直接积分
旋转杯子中的水面, Buffon 投针问题
2.2 微元法
绕在杆上的绳子, Poiseuille 公式, 火箭
2.3 平均
杆秤, 水闸上压力的力矩, 引力, 交流电的平均
3.1 一阶常微分方程
有阻力时的抛体, 单摆, 悬链线, 最速曲线
3.2 二阶线性常微分方程
带阻尼的受迫振动, 电路中的初始条件
3.3 二阶非线性常微分方程及方程组
以恒力拉起链条, 二体问题, 过山车的轨道
4.1 多元函数的微分
三角形的 Fermat 点, 最小二乘法, 定压热容量与定容热容量之差, 平衡态熵极大的推论
4.2 重积分
均匀球体产生的引力, 均匀圆盘产生的引力
4.3 曲线积分、曲面积分与向量分析
极坐标下的梯度和散度, Archimedes 定律, Maxwell 方程组, Maxwell 方程组的微分形式表示
5.1 函数项级数
Kepler 第三定律推导中的一个积分, Stefan-Boltzmann 定律
5.2 幂级数
Fibonacci 数列, Catalan 数, Legendre 方程的解的收敛域, 指数函数和三角函数的定义
5.3 Fourier 级数
Gibbs 现象, 正弦级数和余弦级数, 调幅波的 Fourier 级数, 调频波的 Fourier 级数
5.4 Fourier 变换
一个近似周期函数的 Fourier 变换, 光栅的 Fraunhofer 衍射, 一维热传导方程的求解, Heisenberg 不确定性原理, 圆孔的 Fraunhofer 衍射
5.5 离散 Fourier 变换
超长整数的乘法, 一个近似周期函数的离散 Fourier 变换
6.1 线性代数方程组
Thevenin 定理, 纯电阻电路中增加电阻
6.2 矩阵及其特征值
振动系统, 三阶旋转矩阵的特征值和特征向量, 角速度和旋转坐标系中的惯性力
7.1 变分法
球面上的测地线, 最速曲线, 地球表面两点间的最速曲线
7.2 与摆线相关的一个积分方程
等时摆 I, 等时摆 II
附录 B. 电容和电感
附录 C. 二极管